Misura degli angoli in radianti

I sistemi di misura usati per gli angoli sono due.

- Il sistema sessagesimale: ha come unità di misura il grado, che è la 90^a parte di un angolo retto

- Il sistema circolare: ha come unità di misura il radiante, così definito:

def. Si chiama misura dell'angolo a in radianti il rapporto ar tra l'arco di circonferenza AP = s da lui sotteso e il raggio OP = r dell'arco. si dimostra che è una definizione indipendente dalla grandezza del cerchio. Evidentemente, un angolo di  1  radiante (si scrive anche  1 rad ) è quell'angolo che sottende un arco  lungo quanto il raggio :

Oss1. La misura di un angolo in radianti non ha dimensione perché è il rapporto tra due lunghezze, tuttavia per indicare che il numero a_r è una unità angolare è consuetudine indicare la parola radiante (rad)

Oss2. Se a viene aumentato fino a diventare uguale a 360°, l'arco s diventa proprio la circonferenza 2pr e pertanto la misura dell'angolo giro è a _r= 2p radianti. Per gli altri angoli è facile ottenere:

gradi	radianti	gradi	radianti
0	0	180	π
15	1/12 π	210	7/6 π
30	1/6 π	225	5/4 π
45	1/4 π	240	4/3 π
60	1/3 π	270	3/2 π
90	1/2 π	300	5/3 π
120	2/3 π	315	7/4 π
135	3/4 π	330	11/6 π
150	5/6 π	360	2π

Oss3. Dall'oss2 segue che per passare da una misura in gradi ad una in radianti, e viceversa, basta considerare la seguente proporzione:

a_r : a_o = 2p : 360°

1 rad = 360°/2p = 57.2958° » 57,3°

Es 1. Una cordicella di 20 cm di lunghezza viene avvolta attorno ad un tubo e si trova che i suoi estremi intercettano un angolo di 72° al centro del tubo. Qual è il raggio del tubo?

a_r = 72/57.3 = 1.26 rad r = s/a_r = 15.9 cm

Es2. Il fatto che s = r a_r fornisce un metodo per fare una stima di distanze in certe circostanze. Supponiamo che un palo sia posto verticalmente al suolo ad una distanza r da un osservatore posto in O. L'osservatore misura l'angolo sotteso dal palo e trova il valore a_r. Mentalmente l'osservatore costruisce una circonferenza di raggio r centrata in O e passante per la parte inferiore del palo. La lunghezza dell'arco è s = ra_r. Poiché a è un angolo piccolo s è approssimativamente uguale all'altezza del palo h, e possiamo scrivere: h = r a_r.